Laplace Transformatie

Laplacetransformaties gebruik je bijvoorbeeld om een lastige differentiaalvergelijking om te zetten naar een vergelijking die eenvoudiger is op te lossen. Je hebt een technisch probleem waarbij je te maken hebt met een of meer dynamische processen, dus veranderlijk in de tijd. Je kunt dit modelleren naar een wiskundig probleem met differentiaalvergelijkingen. Dit model is beschreven in de tijd, noem dit het tijdsdomein. Vervolgens transformeer je dit model naar een ander domein: het Laplace-domein. Binnen het Laplace-domein zijn de differentiaalvergelijkingen omgezet naar "gewone" vergelijkingen, die je kunt oplossen. Tenslotte transformeer je de oplossingen weer terug naar het tijdsdomein.

Bekijk eerst een voorbeeld. Hier zie je een `RL`-circuit dat in de elektrotechniek voorkomt. Hierin is `R` een weerstand, uitgedrukt in Ohm, en `L` is de zogeheten zelfinductie van een spoel, uitgedrukt in Henry. Er wordt op tijdstip `t=0` een spanning `E(t)` op de bron gezet, waardoor er een stroom gaat lopen met stroomsterkte `i(t)` uitgedrukt in Ampère. De bronspanning kan constant zijn of variëren, dus afhankelijk van de tijd.

Volgens de wet van Ohm is de spanning over de weerstand gelijk aan `u_R=i*R`

De spanning over de spoel is gelijk aan `u_L=L*(text(d)i)/(text(d)t)`

Volgens de spanningswet van Kirchoff geldt: `u_L+u_R=E(t)`

Ofwel: `L*(text(d)i)/(text(d)t)+i*R=E(t)`

Het model dat hierbij hoort is dus een differentiaalvergelijking. De oplossing van deze vergelijking geeft de stroom als functie van de tijd.

Deze lineaire eerste orde differentiaalvergelijking kun je gewoon oplossen, maar ik gebruik dit nu even als voorbeeld om verderop te laten zien hoe een Laplace-transformatie werkt.

Met Laplace transformatie kun je een functie in het tijdsdomein transformeren naar een functie in het Laplace-domein ofwel het `s`-domein, als volgt:

`ℒ(f(t))=F(s)=int_0^oo f(t)*text(e)^(text(-)st) text(d)t`

In woorden: de Laplace-getransformeerde van een functie `f(t)` (een functie van de tijd) is gelijk aan een functie `F(s)` (een functie van `s`). Je berekent `F(s)` door een integraal uit te rekenen. Dat lijkt natuurlijk nog wel een klus, maar je zult zien dat je met een paar basisfuncties en enkele eigenschappen een heel eind komt zonder verder nog veel te hoeven integreren.

Eerst wat opfrissen over integreren:

Voorbeeld: `c` is een constante, `c ne 0`.

`int_0^oo text(e)^(text(-)ct) text(d)t=lim_(x rarr oo) int_0^x text(e)^(text(-)ct) text(d)t=lim_(x rarr oo) [1/(text(-)c)*text(e)^(text(-)ct)]_0^x`

`=lim_(x rarr oo)[1/(text(-)c)*text(e)^(text(-)cx)-1/(text(-)c)*text(e)^0]`

Als `c` een positieve constante is, dan is `lim_(x rarr oo)1/(text(-)c)*text(e)^(text(-)cx)=0` dus dan geldt:

`int_0^oo text(e)^(text(-)ct) text(d)t=0-1/(text(-)c)=1/c`.

Opdrachten

Bereken de Laplace-getransformeerde van de functie `f(t)=3`
Bereken de Laplace-getransformeerde van de functie `f(t)=text(e)^(2t)`

De antwoorden van beide opdrachten zijn eenvoudig te generaliseren naar de Laplace-getransformeerde van de volgende functies:

`a` is een constante. Dan is `ℒ(a)=a/s` en `ℒ(text(e)^(at))=1/(s-a)`

Voor de Laplace transformatie is de zogeheten lineariteit geldig: de getransformeerde van `f+g` is hetzelfde als de getransformeerde van `f` plus de getransformeerde van `g`.Ook is de getransformeerde van `c*f` gelijk aan `c` maal de getransformeerde van `f` als `c` een constante is.. Deze lineariteit volgt direct uit de lineariteit van de integratie.

Opdracht

Bereken de Laplace-getransformeerde van `f(t)=3+text(e)^(5t)`

Nu heb je dus al de getransformeerde van alle functies van de vorm `a+b*text(e)^(ct)`.

Volgens een beroemde formule van Euler kun je een sinus en een cosinus ook schrijven met behulp van (complexe) e-machten. Omdat de letter i in de elektrotechniek universeel gebruikt wordt voor de weergave van stroomsterkte, is het binnen de wereld van de elektrotechniek gebruikelijk om het complexe getal `text(i)` weer te geven met de letter `text(j)`.

De formules van Euler luiden dan:

`cos(t)=1/2*(text(e)^(text(j)t)+text(e)^(text(-j)t))`
`sin(t)=1/(2text(j))*(text(e)^(text(j)t)-text(e)^(text(-j)t))`

Dus je kunt nu ook de getransformeerde van sinusfuncties en cosinusfuncties berekenen:

`ℒ(cos(t))=ℒ(1/2*(text(e)^(text(j)t)+text(e)^(text(-j)t)))=1/2 ℒ(text(e)^(text(j)t)+text(e)^(text(-j)t)))`

`=1/2(1/(s-text(j))+1/(s+text(j)))=1/2((s+text(j))/(s^2-text(j)^2)+(s-text(j))/(s^2-text(j)^2))`

`=1/2((2s)/(s^2-(text(-)1)))=s/(s^2+1)`

Eigenschappen van de Laplace transformatie

De lineariteitseigenschap van de Laplace-transformatie is al aan bod geweest. Een volgende eigenschap heeft te maken met het effect van het vermenigvuldigen met een e-macht in het tijdsdomein. De eigenschap is als volgt te beschrijven:

Vermenigvuldigen met een e-macht in het tijdsdomein betekent een verschuiving in het `s`-domein.

In formulevorm:

Als `ℒ(f(t))=F(s)` dan is `ℒ(text(e)^(at)*f(t))=F(s-a)`

Bewijs:

`ℒ(text(e)^(at)*f(t))=int_0^oo text(e)^(at)*f(t)*text(e)^(text(-)st) text(d)t`

`=int_0^oo f(t)*text(e)^(text(-)(s-a)t) text(d)t=F(s-a)`

Voorbeeld

`f(t)=cos(3t)` dan is `F(s)=s/(s^2+9)`

Dus `ℒ(text(e)^(2t)*cos(t))=F(s-2)`

Vervang elke `s` door `s-2`:

`ℒ(text(e)^(2t)*cos(t))=(s-2)/((s-2)^2+9)`

Opdrachten

Bereken de Laplace-getransformeerde van `f(t)=5cos(4t)*text(e)^(3t)`
Bereken de Laplace-getransformeerde van `f(t)=text(-)2sin(3t)*text(e)^(5t)`

Een andere interessante eigenschap van de Laplace-transformatie heeft te maken met differentiëren. Een beschrijving:

Vermenigvuldigen met `t` in het tijdsdomein betekent: differentieer in het `s`-domein, en vermenigvuldig met `text(-)1`

In formulevorm:

Als `ℒ(f(t))=F(s)` dan is `ℒ(t*f(t))=text(-)(text(d)F(s))/(text(d)s)`

Bewijs:

`F(s)=int_0^oo f(t)*text(e)^(text(-)st) text(d)t` dus `(text(d)F(s))/(text(d)s)=text(d)/(text(d)s)int_0^oo f(t)*text(e)^(text(-)st) text(d)t`

`=int_0^oo f(t)*text(d)/(text(d)s)text(e)^(text(-)st) text(d)t=int_0^oo f(t)*text(-)t*text(e)^(text(-)st) text(d)t=text(-)int_0^oo t*f(t)*text(e)^(text(-)st) text(d)t`

En hier staat precies de getransformeerde van `t*f(t)` met een minteken ervoor.

Voorbeeld: `f(t)=1` dus `F(s)=1/s` dus `ℒ(t)=ℒ(t*1)=text(-)(text(d)/(text(d)s)(1/s))`

De afgeleide van `1/s` is `text(-) 1/s^2`dus `ℒ(t)=1/s^2`

Dit kun je gebruiken om `ℒ(t^2)` te berekenen:

Noem `f(t)=t`, dan is `F(s)=1/s^2`, dus `ℒ(t^2)=ℒ(t*f(t))=text(-)text(d)/(text(d)s) (1/s^2)=2/s^3`

Opdrachten

Bereken de Laplace-getransformeerde van `f(t)=t^3`
Bereken de Laplace-getransformeerde van `f(t)=4t^2-5t+3`
Bereken de Laplace-getransformeerde van `f(t)=5t^2*text(e)^(3t)` Hint

In het algemeen geldt dus:

`ℒ(t^n)=(n!)/s^(n+1)`

Voorbeeld: `f(t)=sin(3t) rarr F(s)=3/(s^2+9)`. Om de getransformeerde van `t sin(3t)` te vinden, ga je `F(s)` differentiëren (denk aan de quotiëntregel) en met `text(-)1` vermenigvuldigen. Het resultaat is: `ℒ(t*sin(3t))=(6s)/(s^2+9)^2`

Opdracht

Bereken de Laplace-getransformeerde van `f(t)=t*cos(t)`

Terugtransformeren

De weg terug: van een functie in het `s`-domein moet je in staat zijn om deze terug te transformeren naar het tijdsdomein. Dit heet de inverse Laplace transformatie, `ℒ^(-1)` of kortweg: de inverse.

Voorbeelden:

`ℒ^(-1)(5/s)=5`
`ℒ^(-1)((4s)/(s^2+25))=4cos(5t)`

Soms kun je dus de inverse direct vinden omdat je de getransformeerde herkent. Maar vaak is de functie niet direct herkenbaar. Bijvoorbeeld `F(s)=1/(s^2+6s+9)`

Deze moet je eerst herschrijven tot `1/(s+3)^2` en vervolgens herkennen dat hier sprake is van een verschuiving in het `s`-domein.

Dus `ℒ^(-1)(1/(s^2+6s+9))=t*text(e)^(text(-)3t)`

Als de noemer van `F(s)` een kwadraat is, zoals in bovenstaand voorbeeld, dan is de inverse dus iets met `t` maal een e-macht.
Als de noemer van `F(s)` niet alleen een kwadraat is, maar er blijft nog iets over, dan kun je het kwadraat afsplitsen en een rest overhouden. Dit kan dan leiden tot een herkenbare getransformeerde.

Voorbeeld: `ℒ^(-1)((s-3)/((s-3)^2+4))`
Herken de verschuiving, dat betekent dus een exponentiële functie in de tijd.
Eerst `ℒ^(-1)(s/(s^2+4))=cos(2t)`
Dus `ℒ^(-1)((s-3)/((s-3)^2+4))=cos(2t)*text(e)^(3t)`

Opdracht

Vind de inverse van `3/(s^2+4s+5)` Hint

Het kan nog ingewikkelder: `F(s)=s/(s^2-6s+13)`
Eerst kwadraatafsplitsen: `s^2-6s+13=(s-3)^2+4`Herken in de noemer de verschuiving in het s-domein. Maar in de teller staat ook nog een `s`. Die moet ook verschoven worden! Dit kun je realiseren door de functie te splitsen in twee breuken:
`s/(s^2-6s+13)=(s-3+3)/((s-3)^2+4)=(s-3)/((s-3)^2+4)+3/((s-3)^2+4)`
Dus `ℒ^(-1)(s/(s^2-6s+13))=ℒ^(-1)((s-3)/((s-3)^2+4))+ℒ^(-1)(3/((s-3)^2+4))=text(e)^(3t)(cos(2t)+3/2 sin(2t))`
Snap je de factor `3/2` die voor `sin(2t)` staat?

Maar nu een ander geval: `F(s)=(2s-15)/(s^2-3s)`
De noemer is geen kwadraat, maar je kunt hem wel ontbinden. Deze functie kun je splitsen in twee eenvoudiger breuken, dat wil in dit geval zeggen: breuken waarvan in de noemer geen kwadraat meer staat. Dit is de techniek van het breuksplitsen, die ook van pas kwam bij het zoeken naar integralen.
`(2s-15)/(s^2-3s)=(2s-15)/(s(s-3))=5/s-3/(s-3)` dus `ℒ^(-1)((2s-15)/(s^2-3s))=5-3text(e)^(3t)`
En bijvoorbeeld `ℒ^(-1)((s+10)/(s^2+6s+8))=ℒ^(-1)(4/(s+2)-3/(s+4))=4text(e)^(text(-)2t)-3text(e)^(text(-)2t)`

Opdracht

Reken deze laatste breuksplitsing na.

Differentiëren in de tijd

Even terug naar waar het allemaal om begonnen is: een differentiaalvergelijking vertalen naar een 'gewone' vergelijking. Hier gebruik je de volgende eigenschap:

Als `ℒ(f(t))=F(s)` dan is `ℒ(f'(t))=sF(s)-f(0)`

In woorden: differentiëren in de tijd betekent; vermenigvuldig met `s` in het `s`-domein, minus `f(0)`.

Bewijs:

Dit bewijs maakt gebruik van de techniek van partiële integratie.

`ℒ(f'(t))=int_0^oo f'(t)*text(e)^(text(-)st) text(d)t`
`int_0^oo f'(t)*text(e)^(text(-)st) text(d)t=[f(t)*text(e)^(text(-)st)]_0^oo-int_0^oo f(t)*text(e)^(text(-)st)*(text(-)s) text(d)t`
`=[f(t)*text(e)^(text(-)st)]_0^oo+s*int_0^oo f(t)*text(e)^(text(-)st) text(d)t`
`=0-f(0)+s*F(s)` onder de voorwaarde dat (het reële deel van) `s` positief is.

Voorbeeld: neem `f(t)=text(e)^(3t)` dan is `F(s)=1/(s-3)`
Verder is `f'(t)=3text(e)^(3t)`
Volgens de differentieereigenschap in de tijd moet dan gelden:
`ℒ(3text(e)^(3t))=s*F(s)-f(0)=s*1/(s-3)-1=s/(s-3)-(s-3)/(s-3)=3/(s-3)`
Dat wist je natuurlijk al...

Je kunt de eigenschap uitbreiden naar hogere orde afgeleiden:
`ℒ(f'(t))=sF(s)-f(0)`
`ℒ(f''(t))=s*ℒ(f'(t))-f'(0)`
`=s*(sF(s)-f(0))-f'(0)=s^2*F(s)-s*f(0)-f'(0)`
enzovoort...

Voorbeeld:

Bekijk de differentiaalvergelijking: `(text(d)x)/(text(d)t)=3x+1` waarbij `x(0)=2`
Eerst: noem `ℒ(x)=X`, dan geldt volgens de differentieereigenschap voor het linkerlid:
`ℒ((text(d)x)/(text(d)t))=sX-x(0)=sX-2`
En volgens de lineariteit voor het rechterlid:
`ℒ(3x+1)=3X+1/s`
Dus `sX-2=3X+1/s` en dat is een gewone vergelijking die je kunt oplossen!
De onbekende die je wilt oplossen is `X`.
`(s-3)X=2+1/s`
`X=(2+1/s)/(s-3)=(2s+1)/(s(s-3))`
Breuksplitsen van het rechterlid geeft: `(2s+1)/(s(s-3))=(text(-)1/3)/s+(7/3)/(s-3)`
Terugtransformeren: `x=text(-)1/3*ℒ^(-1)(1/s)+(7/3)*ℒ^(-1)(1/(s-3))`
`=text(-)1/3+7/3text(e)^(3t)` waarmee de differentiaalvergelijking is opgelost!

Nog een voorbeeld

Iets ingewikkelder:
`3(text(d)x)/(text(d)t)-2x=5text(e)^(text(-)t)+2` waarbij `x(0)=1`
Noem `ℒ(x)=X`, dan is `ℒ((text(d)x)/(text(d)t))=sX-x(0)=sX-1`
Transformeer het rechterlid: `ℒ(5text(e)^(text(-)t))=5/(s+1)` en `ℒ(2)=2/s`
De hele getransformeerde vergelijking:
`3(sX-1)-2X=5/(s+1)+2/s`
Oplossen voor `X`:
`(3s-2)X=5/(s+1)+2/s+3 rarr X=(5/(s+1)+2/s+3)/(3s-2)=(3s^2+10s+2)/(s(s+1)(3s-2))`
Breuksplitsen: `X=text(-)1/s-1/(s+1)+9/(3s-2)`
Terugtransformeren: bedenk dat `9/(3s-2)=3/(s-2/3)`
Dus `x=text(-)1-text(e)^(text(-)t)+3text(e)^(2/3t)`

Voorbeeld uit de elektrotechniek

En dan nu terug naar het allereerste voorbeeld van het `RL`-circuit.
De bijbehorende differentiaalvergelijking is `L*(text(d)i)/(text(d)t)+i*R=E(t)`
De randvoorwaarde is dat er op tijdstip `t=0`, als de schakelaar wordt omgezet, nog geen stroom is, dus `i(0)=0`. Verder kun je voor de bronspanning `E(t)` in principe elke functie bedenken, bijvoorbeeld `sin(t)` of `text(e)^(text(-)3t)`, maar ik kies nu voor een constante `E`. De waarden van `R` en `L` zijn ook constant.
Noem `ℒ(i)=X`, dan is `ℒ((text(d)i)/(text(d)t))=sX-i(0)=sX` en `ℒ(iR)=R*X`.
De getransformeerde vergelijking wordt dan: `LsX+RX=E/s`.
Oplossen voor `X`:
`(Ls+R)X=E/s rarr X=E/(s(Ls+R))=(E/R)/s+(text(-)LE/R)/(Ls+R)`.
Terugtransformeren: `i=E/R-E/Rtext(e)^(text(-)(R/L)t)`
Je kunt zien dat inderdaad op tijdstip `t=0` de stroom `i` gelijk is aan `0`, en dat de limietwaarde van de stroom als `t rarr oo` gelijk is aan `E/R`.

Toepassing

De differentiaalvergelijking uit het voorbeeld hierboven kun je ook oplossen zonder gebruik te maken van Laplace-transformatie. Dat ligt anders bij het volgende voorbeeld: hier heb je te maken met een gekoppeld stelsel differentiaalvergelijkingen, die je niet apart kunt oplossen.

`{((text(d)x_1)/(text(d)t)+x_1+2x_2=0),((text(d)x_2)/(text(d)t)-3x_1-4x_2=1):}`

De randvoorwaarden bij dit stelsel:

`{(x_1(0)=0),(x_2(0)=0):}`

Er zijn twee onbekenden die opgelost moeten worden: `x_1` en `x_2`. Noem de getransformeerden van deze onbekenden:

`ℒ(x_1)=X_1` en `ℒ(x_2)=X_2`

Dan kun je nu de beide differentiaalvergelijkingen transformeren:

`{(sX_1-0+X_1+2X_2=0),(sX_2-0-3X_1-4X2=1/s):}`

Herschikken

`{((s+1)X_1+2X_2=0),(-3X_1+(s-4)X_2=1/s):}`

Elimineren: vermenigvuldig de bovenste vergelijking links en rechts met `s-4` en de onderste met `text(-)2`:

`{((s-4)(s+1)X_1+2(s-4)X_2=0),(6X_1-2(s-4)X_2=text(-)2/s):}`

Optellen: `(s-4)(s+1)X_1+6X_1=text(-)2/s`

Dus `X_1=text(-)2/(s(s^2-3s+2))` en deze breuk kun je splitsen in `X_1=text(-)1/s+2/(s-1)-1/(s-2)`

Terugtransformeren: `x_1=text(-)1-2text(e)^t-text(e)^(2t)`

Op soortgelijke manier vind je `x_2=1/2-2text(e)^t+3/2text(e)^(2t)`

Voorbeeld uit de elektrotechniek

Hier zie je een elektrisch circuit met twee loops. Er zijn twee condensatoren met capaciteiten `C_1` en `C_2` uitgedrukt in Farad, een weerstand `R` uitgedrukt in Ohm en een spoel met zelfinductie `L`, uitgedrukt in Henry. De volgende verbanden zijn geldig:

Spanning over een spoel: `u_L=L*(text(d)i)/(text(d)t)`

Spanning over een weerstand: `u_R=i*R`

Spanning over een condensator: `u_C=1/C*int i text(d)t rarr i=C*(text(d)u_C)/(text(d)t)`

De stroom in het deel van het circuit met de weerstand `R` voor Loop 1 is gelijk aan `i_1-i_2`, die voor Loop 2 is gelijk aan `i_2-i_1`.

Volgens de wet van Kirchoff geldt nu:

`{(u_L+u_R+u_(C_1)=E(t)),(u_R+u_(C_2)=0):}`

Gebruik de verbanden voor de spanningen:

`{(L*(text(d)i_1)/(text(d)t)+(i_1-i_2)*R+u_(C_1)=E(t)),((i_2-i_1)*R+u_(C_2)=0):}`

Substitueer `i_1=C_1*(text(d)u_(C_1))/(text(d)t)` en `i_2=C_2*(text(d)u_(C_2))/(text(d)t)`

Dan is de afgeleide van `i_1` dus gelijk aan `C_1` maal de tweede afgeleide van `u_(C_1)`. Dus:

`{(L*C_1*(text(d)^2 u_(C_1))/(text(d)t)+(C_1*(text(d)u_(C_1))/(text(d)t)-C_2*(text(d)u_(C_2))/(text(d)t))*R+u_(C_1)=E(t)),((C_2*(text(d)u_(C_2))/(text(d)t)-C_1*(text(d)u_(C_1))/(text(d)t))*R+u_(C_2)=0):}`

Noem de getransformeerden van `u_(C_1)` en van `u_(C_2)` achtereenvolgens `X` en `Y`:

Er zijn nog drie beginvoorwaarden nodig om te kunnen transformeren.

Noem `u_(C_1)(0)=a, (text(d)u_(C_1))/(text(d)t)(0)=b` en `u_(C_2)(0)=c`.

De getransformeerde differentiaalvergelijkingen worden dan:

`{(LC_1(s^2 X-sa-b)+(C_1(sX-a)-C_2(sY-c))R+X=ℒ(E)),((C_2(sY-c)-C_1(sX-a))R+Y=0):}`

Als je door de ballast heen kijkt, dan zie je hier een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in `X` en `Y`. Dit stelsel is dus elementair op te lossen. De oplossingen zijn breuken die je kunt splitsen, en tenslotte kun je deze gesplitste breuken weer terugtransformeren om de oplossingen voor `u_(C_1)` en `u_(C_2)` te krijgen, en daarmee ook die van `i_1` en `i_2`.

Math4all Auteur: Anneke Grünefeld